В случае смерти доверителя вклада

Без ссылок на нормы. Будут запросы на конкретные нормы - будут ссылки, но всё подтверждается практикой.
1. Действие доверенности прекращается со смертью доверителя.
2. Вноситель (доверенное лицо) не обязан немедленно извещать банк о смерти вкладчика.
3. Действие вклада не останавливается. Здесь есть нюанс - если имеется условие об автопролонгации вклада, то в течении полугода, т.е. до получения наследниками свидетельств о праве на наследство и истечении срока вклада он будет автоматически продлён на новый срок.
4. О превышении АСВ ничего на данный момент не могу сказать.

Далее, из практики:
После обращения к нотариусу, он рассылает по заявленным банкам заявления о розыске вкладов, или выдаёт эти заявления одному из наследников (самому активному и заинтересованному, или его доверенному лицу) и наследник (его доверенное лицо) сам представляет в банки эти заявления.
Сведения об имеющихся вкладах практически могут, но не обязаны, дать сразу. Но, официальный ответ нотариусу в письменном виде будет дан примерно через месяц. На основании этих ответов нотариус будет выписывать свидетельства о наследстве (рекомендуется для каждого банка отдельное, т.к. некоторые банки, например Сбербанк, изымают оригинал свидетельства).
Конечно можно представить нотариусу договоры вкладов, сберегательные книжки и т.п., он выпишет свидельства на основании представленных документов, что позволит избежать оплаты розыска вкладов( в Сбербанке розыск платный, в УралСИБе делали бесплатно). Но нередки случаи, когда при розыске вкладов - обнаруживаются вклады наследодателя, о которых наследники и не подозревали.
В свидельстве о праве на наследство нотариус пишет примерно следующее: "право на денежные средства по вкладу, проценты и компенсации по ним".