Аксиома

Аксиома — что это такое?

Аксиома — это утверждение, которое принимают в рамках теории как верное без необходимости доказательства. Само слово происходит от греческого καιωμα — «принятое положение». В этом есть суть аксиомы: ее принимают по соглашению как исходную истину, на которую опирается вся система. 

В отличие от теорем, аксиомы не доказываются, потому что задают базовые правила «игры» внутри выбранной теории.

Слово «постулат» часто используют как синоним аксиомы, поскольку оба термина обозначают утверждение, принимаемое без доказательства. Противоположным понятием считается гипотеза — предположение, истинность которого еще предстоит подтвердить или опровергнуть.

Пример аксиомы в геометрии Евклида: через любые две точки можно провести единственную прямую. Это одно из основных положений евклидовой геометрии. Если задать две точки, прямая между ними будет единственной. Например, на листе бумаги ставим две точки — линейка позволяет провести только одну прямую, соединяющую их.

Это не вывод, а условие, на котором строится вся геометрическая система.

На любом луче можно отложить только один отрезок, равный данному. Если задан отрезок и направление, то существует единственная точка на луче, в которую он упрется, будучи равным исходному.

Пример: если от начала луча отмерить 5 см вправо, то второй раз отложить такой же отрезок в том же направлении получится только в то же место.

В арифметике существуют аксиомы Пеано. Они описывают свойства натуральных чисел, например, «у каждого числа есть следующее».

В логике есть аксиома тождества A = A. 

Суть аксиомы не в ее очевидности. Мы принимаем ее «по соглашению» — волевым решением. Это принципиальное свойство: в любой теоретической системе мы можем сами задать, что считать аксиомой, если это не ведет к противоречиям. Если аксиомы не противоречат друг другу, на их основе можно выводить теоремы, строить доказательства и формализовать любую область — от математики до программирования.

В разных системах одна и та же аксиома может быть принята или отвергнута. Например, в неевклидовой геометрии отказываются от привычного постулата о параллельных прямых — и получают совершенно другие свойства пространства.