Арифметическая прогрессия
Содержание
ПоказатьСкрыть
Содержание
Что такое арифметическая прогрессия
Прогрессия — это особый вид числовой последовательности, в которой между любыми двумя соседними членами выполняется определенное математическое правило. Это может быть, например, фиксированная разность или отношение, которые связывают члены последовательности. В более широком смысле, прогрессией называют такую последовательность чисел, где каждый элемент связан с предыдущим по какому-то закономерному правилу.
Иллюстрация: Банки.ру
Числовая последовательность — это упорядоченный ряд чисел, в котором каждому числу можно присвоить уникальный номер (индекс). Эти числа могут следовать по разным правилам: могут быть возрастающими, убывающими или случайными, однако именно прогрессия характеризуется строгими и простыми правилами для вычисления каждого следующего числа. Прогрессия отличается от случайной последовательности тем, что между ее членами существует четкое арифметическое или геометрическое соотношение.
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя соседними членами постоянна. Иными словами, каждый следующий член последовательности можно получить, прибавив к предыдущему числу постоянную величину, которая называется разностью прогрессии.
Обозначим арифметическую прогрессию как последовательность a₁, a₂, a₃, … aₙ, где для каждого натурального n выполняется равенство:
aₙ+₁ = aₙ+ d
Здесь a₁ — первый член прогрессии, а d — постоянная разность между любыми двумя соседними членами.
Существует несколько типов числовых последовательностей, к которым относится и арифметическая прогрессия:
| Тип последовательности | Описание |
| Числовая последовательность | Ряд чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер. |
| Возрастающая числовая последовательность | Числовая последовательность, в которой каждый ее член, кроме первого, больше предыдущего. |
| Убывающая числовая последовательность | Числовая последовательность, в которой каждый ее член, кроме первого, меньше предыдущего. |
Арифметическая прогрессия может быть как возрастающей, так и убывающей, в зависимости от знака разности d:
- Если d > 0, прогрессия возрастающая.
- Если d < 0, прогрессия убывающая.
- Если d = 0, прогрессия состоит из одинаковых чисел.
Сумма арифметической прогрессии — это сумма всех ее членов, которая может быть вычислена с использованием специальной формулы.
Формула арифметической прогрессии
Если известен первый член арифметической прогрессии a₁ и ее разность d, то для нахождения любого члена последовательности можно воспользоваться формулой: aₙ+1 = aₙ + d
Рассмотрим пример. Пусть a₁ = 3, а разность d = 4.
Чтобы найти a₂, a₃ и далее, применяем формулу.
- a₂ = a₁ + d = 3 + 4 = 7
- a₃ = a₂ + d = 7 + 4 = 11
- a₄ = a₃ + d = 11 + 4 = 15
Итак, последовательность выглядит так: 3, 7, 11, 15.
Для нахождения любого n-го члена прогрессии достаточно к первому члену добавить (n−1) разностей:
aₙ = a₁ +d(n−1)
Пример решения задачи. Пусть задана арифметическая прогрессия с первым членом a₁ = 5 и разностью d = 3. Необходимо найти 6-й член этой прогрессии.
Используем формулу для a₆:
a₆ = a₁ + d(6−1) = 5 + 3 × 5 = 5 + 15 = 20
Ответ: 6-й член прогрессии равен 20.
Свойства арифметической прогрессии
Одним из важных свойств арифметической прогрессии является следующее: каждый член прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних членов.
Если взять два соседних члена прогрессии, например aₙ и aₙ+₂, то их среднее арифметическое всегда будет равно aₙ+₁, то есть: aₙ +1 = (aₙ + aₙ+₂) / 2
Это свойство объясняет название «арифметическая» прогрессия, поскольку каждый следующий элемент образуется путем «арифметического» добавления постоянной разности d к предыдущему члену.
