Дискриминант

Дискриминант — что это

Дискриминант — это величина, связанная с коэффициентами квадратного трехчлена. Он позволяет определить количество корней уравнения и их характер (вещественные или комплексные). 

Иллюстрация: Банки.ру

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, которое позволяет определить:

1. Количество корней уравнения.
2. Характер корней (действительные или комплексные).

Значение дискриминанта помогает выбрать оптимальный способ решения уравнения и дает представление о поведении его графика.

Дискриминантом квадратного трехчлена называют величину, которая вычисляется по формуле:

D = b² − 4ac,

где:

• b — коэффициент при x;
• a — коэффициент при x²;
• c — свободный член.

Квадратное уравнение

Если рассматривается квадратное уравнение вида:

ax² + bx + c = 0,

где:

• a — старший коэффициент;
• b — второй коэффициент;
• c — свободный член;
• x — неизвестное, значение которого нужно найти.

В этом случае величина D называется дискриминантом квадратного уравнения. Она используется для анализа количества и характера корней уравнения.

Полезная информация о дискриминанте

Дискриминант и график квадратичной функции

Значение дискриминанта позволяет определить, пересекает ли график квадратичной функции (параболы) ось Ox:

• D > 0 — парабола пересекает ось Ox в двух точках;
• D = 0 — парабола касается оси Ox в одной точке;
• D < 0 — парабола не пересекает ось Ox, ее вершина находится выше или ниже оси Ox, в зависимости от знака коэффициента aaa.

Решение биквадратных уравнений

Дискриминант также используется при решении биквадратных уравнений вида:

ax⁴ + bx² + c = 0.

Такое уравнение сводится к квадратному с заменой переменной:

y = x².

В результате биквадратное уравнение преобразуется в квадратное:

ay² + by + c = 0,

где применяется стандартная формула дискриминанта.

Формула для упрощенного расчета при четном b

Если коэффициент b четный, удобнее использовать половину его значения:

m = b / 2.

Тогда квадратное уравнение принимает вид:

ax² + 2mx + c = 0.

Для такого уравнения дискриминант вычисляется по формуле:

D₄ = m² − ac.

Корни уравнения в этом случае находятся по упрощенным формулам:

1. x₁ = (−m − √D₄) / a;
2. x₂ = (−m + √D₄) / a.

Эти методы позволяют сократить вычисления и упрощают решение квадратных уравнений в отдельных случаях.

Уравнение и его корни

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой необходимо найти. Решением уравнения называют нахождение значения переменной, которое делает равенство верным. Такое значение называют корнем уравнения.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратным называют уравнение вида:

ax² + bx + c = 0,

где:

• x — переменная (неизвестное), значение которой нужно определить;
• a,b,c — коэффициенты (действительные числа).

Левая часть уравнения называется квадратным трехчленом, так как она содержит член с квадратом переменной.

Решение квадратного уравнения

Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или доказать их отсутствие. Существует несколько методов решения, включая:

1. Использование формулы дискриминанта (основная тема данной статьи).
2. Выделение полного квадрата.
3. Применение теоремы Виета.
4. Разложение квадратного трехчлена на множители.
5. Графический способ и другие.

Выбор метода зависит от условий задачи и уровня подготовки. Наиболее распространенными являются первые три метода.

Теорема

Пусть дано квадратное уравнение вида:

ax² + bx + c = 0, а D — его дискриминант. Тогда:

1. Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет вещественных решений. Корни будут комплексными.
2. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет одно вещественное решение, которое вычисляется по формуле:
   
   x = −b / (2a).
3. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных вещественных решения, которые находятся по формулам:
   • x₁ = (−b − √D) / (2a);
   • x₂ = (−b + √D) / (2a).

Формула дискриминанта и его корней

Как решать квадратные уравнения через дискриминант 

Алгоритм решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

1. Определите коэффициенты a, b, c.
2. Вычислите дискриминант по формуле:
   
   D = b² − 4ac.
3. Проанализируйте значение дискриминанта:
   • Если D < 0, уравнение не имеет вещественных корней.
   • Если D = 0, уравнение имеет один корень, который находится по формуле:
     
     x = −b / (2a).
   • Если D > 0, уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам:
     
     x₁ = (−b − √D) / (2a),
     
     x₂ = (−b + √D) / (2a).

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение:

2x² − 3x + 7 = 0.

1. Определим коэффициенты:
   
   a = 2, b = −3, c = 7.
2. Найдем дискриминант:
   
   D = (−3)² − 4 × 2 × 7 = 9 − 56 = −47.
3. Поскольку D < 0, вещественных корней нет.
   
   Ответ: корней нет.

Пример 2. Решить уравнение:

x² − 4x + 4 = 0.

1. Определим коэффициенты:
   
   a = 1, b = −4, c = 4.
2. Найдем дискриминант:
   
   D = (−4)² − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0.
3. Поскольку D = 0, уравнение имеет один корень:
   
   x = −(−4) / (2 × 1) = 4 / 2 = 2.
   
   Ответ: корень уравнения x = 2.

Пример 3. Решить уравнение:

x² + 3x − 4 = 0.

1. Определим коэффициенты:
   
   a = 1, b = 3, c = −4.
2. Найдем дискриминант:
   
   D = 3² − 4 × 1 × (−4) = 9 + 16 = 25.
3. Поскольку D > 0, уравнение имеет два корня:
   
   x₁ = (−3 − √25) / (2 × 1) = (−3 − 5) / 2 = −8 / 2 = −4,
   
   x₂ = (−3 + √25) / (2 × 1) = (−3 + 5) / 2 = 2 / 2 = 1.
   
   Ответ: два корня x₁ = −4, x₂ = 1.

Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения

Рассмотрим, как с помощью дискриминанта можно найти корни квадратного уравнения. Сначала вычисляем параметр D, а затем используем следующие формулы для нахождения корней:

1. Если D > 0:
   
   Уравнение имеет два различных действительных корня:
   
   x₁ = (−b − √D) / (2a),
   
   x₂ = (−b + √D) / (2a).
2. Если D = 0:
   
   Уравнение имеет один действительный корень:
   
   x = −b / (2a).
3. Если D < 0:
   
   Уравнение имеет два комплексных корня:
   
   x₁ = (−b − i√|D|) / (2a),
   
   x₂ = (−b + i√|D|) / (2a),
   
   где i — мнимая единица, i² = −1.

Пример 1: Найти корни уравнения x² − 7x + 10 = 0

1. Коэффициенты: a = 1, b = −7, c = 10.
2. Дискриминант:
   
   D = (−7)² − 4 × 1 × 10 = 49 − 40 = 9.
3. Поскольку D > 0, уравнение имеет два корня:
   
   x₁ = (−(−7) − √9) / (2 × 1) = (7 − 3) / 2 = 2,
   
   x₂ = (−(−7) + √9) / (2 × 1) = (7 + 3) / 2 = 5.

Ответ: x₁ = 2, x₂ = 5.

Пример 2: Найти корень уравнения x² − 6x + 9 = 0

1. Коэффициенты: a = 1, b = −6, c = 9.
2. Дискриминант:
   
   D = (−6)² − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0.
3. Поскольку D = 0, уравнение имеет один корень:
   
   x = −(−6) / (2 × 1) = 6 / 2 = 3.

Ответ: x = 3.

Пример 3: Найти корни уравнения x² + 4x + 5 = 0

1. Коэффициенты: a = 1, b = 4, c = 5.
2. Дискриминант:
   
   D = 4² − 4 × 1 × 5 = 16 − 20 = −4.
3. Поскольку D < 0, уравнение имеет два комплексных корня:
   
   x₁ = (−4 − i√4) / (2 × 1) = (−4 − 2i) / 2 = −2 − i,
   
   x₂ = (−4 + i√4) / (2 × 1) = (−4 + 2i) / 2 = −2 + i.

Ответ: x₁ = −2 − i, x₂ = −2 + i.

Как с помощью дискриминанта решить квадратное уравнение

Решение квадратного уравнения с использованием дискриминанта включает следующие этапы:

1. Поиск коэффициентов.
   
   Из уравнения вида ax² + bx + c = 0 записываем значения коэффициентов:
   
   a — коэффициент при x²;
   
   b — коэффициент при x;
   
   c — свободный член.
   
   Например, для уравнения x² − 2x − 48 = 0:
   
   a = 1, b = −2, c = −48.
2. Расчет дискриминанта.
   
   Дискриминант вычисляется по формуле:
   
   D = b² − 4ac.
   
   Например, для уравнения x² − 2x − 48 = 0:
   
   D = (−2)² − 4 × 1 × (−48) = 4 + 192 = 196.
3. Определение количества корней.
   
   В зависимости от значения дискриминанта:
   • Если D = 0, уравнение имеет один корень:
     
     x = −b / (2a).
     
     Например, для уравнения 3x² + 12x + 12 = 0:
     
     D = 12² − 4 × 3 × 12 = 144 − 144 = 0.
     
     Корень:
     
     x = −12 / (2 × 3) = −2.
   • Если D > 0, уравнение имеет два действительных корня:
     
     x₁ = (−b − √D) / (2a),
     
     x₂ = (−b + √D) / (2a).
     
     Например, для уравнения x² − 2x − 48 = 0:
     
     x₁ = (−(−2) − √196) / (2 × 1) = (2 − 14) / 2 = −6,
     
     x₂ = (−(−2) + √196) / (2 × 1) = (2 + 14) / 2 = 8.
   • Если D < 0, уравнение не имеет действительных корней. Однако существуют два комплексных корня:
     
     x₁ = (−b − i√|D|) / (2a),
     
     x₂ = (−b + i√|D|) / (2a),
     
     где i — мнимая единица, i² = −1.
     
     Например, для уравнения 12x² + 8x + 10 = 0:
     
     D = 8² − 4 × 12 × 10 = 64 − 480 = −416.
     
     Комплексные корни:
     
     x₁ = (−8 − i√416) / (2 × 12),
     
     x₂ = (−8 + i√416) / (2 × 12).
4. Формулирование и запись ответа.
   
   После выполнения расчетов записываются значения корней.

Примеры задач с решениями

Пример 1: Решить уравнение x² − 2x − 48 = 0.

Коэффициенты: a = 1, b = −2, c = −48.

Дискриминант: D = (−2)² − 4 × 1 × (−48) = 4 + 192 = 196.

Корни:

x₁ = (−(−2) − √196) / (2 × 1) = (2 − 14) / 2 = −6,

x₂ = (−(−2) + √196) / (2 × 1) = (2 + 14) / 2 = 8.

Ответ: x₁ = −6, x₂ = 8.

Пример 2: Решить уравнение 12x² + 8x + 10 = 0.

Коэффициенты: a = 12, b = 8, c = 10.

Дискриминант: D = 8² − 4 × 12 × 10 = 64 − 480 = −416.

Корни: отсутствуют.

Ответ: корней нет.

Пример 3: Решить уравнение 3x² + 12x + 12 = 0.

Коэффициенты: a = 3, b = 12, c = 12.

Дискриминант: D = 12² − 4 × 3 × 12 = 144 − 144 = 0.

Корень:

x = −12 / (2 × 3) = −2.

Ответ: x = −2.

Онлайн-калькуляторы для решения квадратных уравнений

Существуют онлайн-калькуляторы, которые позволяют вычислить дискриминант, найти корни уравнения и получить полное решение. Такие инструменты полезны для проверки решений и ускорения расчетов. Найти их можно по запросу: «онлайн-калькулятор дискриминанта» или «решение квадратного уравнения онлайн».