Геометрическая прогрессия

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый последующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называется знаменателем — q.

Если первый член прогрессии — a₁, то каждый следующий находится по формуле:

bₙ₊₁ = bₙ × q,

где:

• bₙ₊₁ — следующий член прогрессии;
• bₙ — текущий член прогрессии;
• q — знаменатель прогрессии.

Это свойство используется для нахождения любого члена прогрессии, если известен предыдущий. Например, если b₁ = 5 и q = 3, то:

b₂ = 5 × 3 = 15

b₃ = 15 × 3 = 45

b₄ = 45 × 3 = 135

Важно: знаменатель q не должен быть равен нулю (q ≠ 0), иначе последовательность теряет смысл.

Если нужно найти член с конкретным номером, лучше воспользоваться общей формулой:

bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹

Например, последовательность 2, 6, 18, 54 — это геометрическая прогрессия с первым членом a₁ = 2 и знаменателем q = 3, так как:

2×3=6

6×3=18

18×3=54

Полезные факты о геометрической прогрессии

Где применяется

Геометрическая прогрессия используется не только в школьной алгебре, но и в задачах ОГЭ и ЕГЭ.

Легко запомнить

Для работы с геометрической прогрессией достаточно знать несколько простых формул.

Простота расчетов

Достаточно подставить известные значения в формулы и выполнить вычисления.

Можно найти любой член

Числа в геометрической прогрессии связаны между собой. Зная один элемент, можно вычислить любой другой.

Свойство геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия обладает не только формулами, но и характерными свойствами. Одно из них: квадрат любого члена последовательности (кроме первого) равен произведению его соседних членов.

aₙ² = aₙ₋₁ × aₙ₊₁

Например, рассмотрим последовательность: 2, 4, 8, 16, 32…

• 4²=2×8
• 8²=4×16

Это свойство не распространяется на первый член последовательности.

Виды геометрических прогрессий

Геометрическая прогрессия бывает нескольких типов в зависимости от значения знаменателя q:

• Возрастающая, если q>1q > 1q>1. Члены последовательности увеличиваются.
  
  Пример: 2, 4, 8, 16… знаменатель q=2q = 2q=2.
• Убывающая, если 0<q<10 < q < 10<q<1. Члены последовательности уменьшаются.
  
  Пример: 100, 50, 25, 12.5… знаменатель q=0,5.
• Знакочередующаяся (переменная), если q<0. Члены последовательности меняют знак.
  
  Пример: 3, -6, 12, -24… Знаменатель q=−2.
• Постоянная, если q=1q = 1q=1. Все члены последовательности одинаковые.
  
  Пример: 5, 5, 5, 5… Знаменатель q=1..

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Каждый следующий член геометрической прогрессии получается умножением предыдущего на знаменатель q.

Рассмотрим несколько первых членов:

a₁ = b  

a₂ = a₁ × q = bq  

a₃ = a₂ × q = bq²  

a₄ = a₃ × q = bq³  

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии:

aₙ = b × qⁿ⁻¹,

где:

• aₙ — n-й член прогрессии;
• b — первый член последовательности;
• q — знаменатель;
• n — номер члена прогрессии.

Сумма первых членов геометрической прогрессии

Чтобы найти сумму первых членов геометрической прогрессии, можно просто сложить их. Но если не все значения известны, используют специальную формулу.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Если известен первый член прогрессии b₁ и ее знаменатель q, сумму Sₙ можно вычислить так:

Sₙ = b₁ × (qⁿ − 1) / (q − 1),

где:

• Sₙ — сумма первых n членов прогрессии;
• b₁ — первый член прогрессии;
• q — знаменатель прогрессии;
• n — количество членов.

Эта формула работает, если q ≠ 1.

Если же q = 1, все члены прогрессии одинаковые, и сумма находится проще:

Sₙ = b₁ × n

Подставьте в формулу известные числа и выполните вычисления, чтобы получить результат.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если ее знаменатель q по модулю меньше единицы:

|q| < 1

В таком случае сумма всех ее членов не увеличивается бесконечно, а стремится к определенному числу.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Если |q| < 1, сумма всех членов прогрессии вычисляется по формуле:

S = b₁ / (1 − q)

Где:

• S — сумма бесконечно убывающей прогрессии;
• b₁ — первый член прогрессии;
• q — ее знаменатель.

Например, найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b₁ = 8, q = 0,5.

Для решения используем формулу:

S = 8 / (1 − 0,5) = 8 / 0,5 = 16

Ответ: 16.

Примеры решения задач с геометрической прогрессией

Задача 1

Первый член геометрической прогрессии равен 7, а ее знаменатель — 3. Найдите десятый член этой последовательности.

Для решения используем формулу общего члена геометрической прогрессии:

bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹

Подставим данные:

b₁₀ = 7 × 3¹⁰⁻¹ = 7 × 3⁹

b₁₀ = 7 × 19683 = 137781

Ответ: 137781.

Задача 2

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если ее первый член b₁ = 50, а знаменатель q = 0.2.

Решение:

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Sₙ = b₁ × (1 − qⁿ) / (1 − q), при q ≠ 1

Подставим данные:

S₅ = 50 × (1 − 0,2⁵) / (1 − 0,2)

S₅ = 50 × (1 − 0,00032) / 0,8

S₅ = 50 × 0,99968 / 0,8

S₅ ≈ 62,46

Ответ: 62,46.

Задача 3

Дана геометрическая прогрессия: 9, x, 81, 243. Найдите x.

Решение:

В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на q. Найдем знаменатель:

q = 81 / x = x / 9

Решим уравнение:

x² = 9 × 81

x² = 729

x = 27

Ответ: 27.