Квадрат суммы

Квадрат суммы — это

Квадрат суммы — это выражение, которое получается при возведении в квадрат суммы двух или более чисел.

В математике это понятие часто используется для раскрытия скобок и упрощения выражений.

Основная формула квадрата суммы:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Она означает, что если сложить два числа и возвести сумму в квадрат, то результат будет равен:

• квадрату первого числа;
• плюс удвоенное произведение первого числа на второе;
• плюс квадрат второго числа.

Формула помогает быстро вычислять квадраты чисел, упрощать алгебраические выражения и решать уравнения.

Доказательство формулы квадрата суммы

Аналитическое доказательство

Формула квадратов суммы выводится простым раскрытием скобок:

(a + b)² = (a + b) × (a + b)

Раскроем скобки по распределительному закону:

a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Таким образом, формула подтверждается вычислениями.

Геометрическое доказательство

Формулу можно объяснить с помощью площади квадрата.

Представим квадрат со стороной (a + b). Тогда его площадь равна:

(a + b)²

Разобьем этот квадрат на четыре части:

• два квадрата со сторонами a и b;
• два прямоугольника со сторонами a и b.

Общая площадь будет равна сумме площадей этих фигур:

a² + 2ab + b²

Так как это все один и тот же квадрат, формула квадрата суммы подтверждается и геометрически.

Геометрическое объяснение формулы квадрата суммы

Рассмотрим квадрат со стороной (a + b). Его площадь равна:

(a + b)²

Этот квадрат можно разбить на четыре части:

• квадрат со стороной a (площадь a²);
• квадрат со стороной b (площадь b²);
• два одинаковых прямоугольника со сторонами a и b (площадь каждого ab).

Таким образом, суммарная площадь квадрата выражается так:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Решение примеров на квадрат суммы

Задача 1: Преобразование выражения в многочлен

Преобразуйте выражение (3a + 7b)² в стандартный вид.

Решение

Используем формулу квадрата суммы:

(3a + 7b)² = (3a)² + 2 × 3a × 7b + (7b)² = 9a² + 42ab + 49b²

Ответ: 9a² + 42ab + 49b²

Задача 2: Упрощение вычислений с помощью формулы

Вычислите 48², используя формулу квадрата суммы.

Решение

Представим 48 как сумму удобных чисел:

48 = 50 – 2

Применяем формулу:

(50 – 2)² = 50² – 2 × 50 × 2 + 2² = 2500 – 200 + 4 = 2304

Ответ: 2304.

Задача 3: Разложение многочлена на множители

Разложите выражение 16x² + 40xy + 25y² на множители.

Решение

Представим выражение в виде квадрата суммы:

16x² + 40xy + 25y² = (4x)² + 2 × 4x × 5y + (5y)²

Так как равенство выполняется, то выражение можно представить в виде квадрата суммы: (4x + 5y)²

Ответ: (4x + 5y)².