Площадь круга

Формула площади круга

Чтобы понять, как вычисляется площадь круга, важно разобраться в основных геометрических понятиях, таких как окружность и круг.

Площадь круга

Окружность — это замкнутая плоская кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от ее центра. Это расстояние называется радиусом. Окружность не имеет толщины и представляет собой лишь линию, как, например, кольцо или шина. Важно помнить, что площадь окружности как линии не рассчитывается, она применяется для измерения длины.

Круг — это вся область на плоскости, ограниченная окружностью. Другими словами, круг включает точки внутри и на самой окружности. Представьте круг как плоскую фигуру, например, монету или крышку люка. Круг всегда имеет центр, который совпадает с центром окружности.

Окружность — это только линия, которая ограничивает круг, а круг — это вся плоская область внутри этой линии. Например, обод велосипеда — это окружность, а весь круглый диск внутри обода — это круг.

Другие важные термины:

• Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. Это наибольшее расстояние между точками на окружности. Диаметр обозначается буквой «d» и равен удвоенному радиусу: d = 2r.
• Радиус — расстояние от центра круга до любой точки на его границе. Радиус обозначается буквой «r». Он служит основой для большинства расчетов, включая вычисление площади круга.

Площадь круга — это мера плоской поверхности, заключенной внутри окружности. Ее выражают в квадратных единицах, например, квадратных метрах или сантиметрах. 

Площадь круга обозначается буквой S и измеряется в квадратных единицах, таких как квадратные метры (м²) или квадратные сантиметры (см²).

Формула для вычисления площади круга:

S = π * r²

Где:

• S — площадь круга;
• π — математическая константа, примерно равная 3,14159;
• r — радиус круга.

Формула показывает, что площадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса. Это означает, что даже небольшое увеличение радиуса значительно увеличивает площадь круга.

Число π показывает, во сколько раз длина окружности больше ее диаметра. Оно используется во всех формулах, связанных с кругом и окружностью, потому что описывает их ключевую пропорцию. Например, если взять круг и измерить длину его окружности, она всегда будет примерно в 3,14 раза больше диаметра.

Допустим, радиус круга равен 5 метрам. Используем формулу для расчета площади: S = π * r².

Подставляем значение радиуса — r = 5. Приблизительное значение площади:

S ≈ 3,14159 * 25 = 78.54 м²

Площадь круга через радиус

Для расчета площади круга по формуле S = π * r² необходимо:

1. Определить радиус круга (r).
   
   Радиус может быть дан в условии задачи или измерен, если у вас есть изображение круга. Радиус — это расстояние от центра круга до его границы.
2. Возвести радиус в квадрат (r²).
   
   Это означает, что нужно умножить значение радиуса на само себя:
   
   r² = r * r.
3. Умножить результат на константу π
   
   Константа π выражает отношение длины окружности к ее диаметру. Итоговое значение — это площадь круга, измеряемая в квадратных единицах, например, см² или м².

Площадь круга можно найти через радиус

Например, пусть радиус круга r = 5 см.

1. Найти радиус: r = 5 см.
2. Возвести радиус в квадрат: r² = 5 * 5 = 25.
3. Умножить результат на π: S = 3,14 * 25.
4. Итоговая площадь: S = 78,5 см².

Формула и расчет:

S = π * 5²

S = π * 25

S ≈ 3,14 * 25

S ≈ 78,5 см²

Площадь круга через диаметр

Если известен диаметр круга (d), формула для вычисления площади круга выглядит так:

S = (π * d²) / 4, где:

• S — площадь круга;
• d — диаметр;
• π — математическая константа, равная примерно 3,14.

Чтобы найти площадь круга через диаметр, необходимо:

1. Найти диаметр круга (d).
   
   Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на окружности через центр круга. Его можно найти, если дан радиус — d = 2 * r. 
2. Возвести диаметр в квадрат — d².
   
   Умножьте значение диаметра на само себя:
   
   d² = d * d.
3. Умножить квадрат диаметра на π.
   
   Это даст промежуточный результат.
4. Разделить полученное значение на 4.
   
   Итоговый результат — это площадь круга.

Площадь круга через диаметр

Например, пусть диаметр круга d = 10 см.

1. Возвести диаметр в квадрат: d² = 10 * 10 = 100 см. 

1. Умножить результат на π: π ∗ 100 = 314 см.

1. Разделить на 4. S = 314/4 = 78,54 см².

Таким образом, площадь круга с диаметром 10 см равна примерно 78,54 см².

Площадь круга через длину окружности

Если известна длина окружности (L), площадь круга вычисляют по формуле:

S = L² : (4 * π), 

где:

• S — площадь круга;
• L — длина окружности;
• π — математическая константа, равная примерно 3,14.

Чтобы найти площадь круга по длине окружности:

1. Возведите длину окружности в квадрат (L²).
   
   Умножьте значение длины на само себя:
   
   L² = L * L.
2. Умножьте константу π на 4.
   
   Это будет знаменатель.
3. Разделите квадрат длины окружности на полученный результат.

Площадь круга по длине окружности

Например, пусть длина окружности L = 20 см.

Возведем длину окружности в квадрат: L² = 20 * 20 = 400 см.

Умножим π на 4: 4 ∗ 3,14 = 12,56.

Разделим квадрат длины на результат: S = 400 / 12,56 ≈ 31,85  см². 

Таким образом, площадь круга с длиной окружности 20 см составляет примерно 31,85 см². 

Другие способы определения

Для определения площади круга можно использовать метод, предложенный Леонардо да Винчи:

1. Постройте цилиндр, у которого радиус основания равен радиусу круга (RRR), а высота — R/2R/2R/2.
2. Смазав боковую поверхность цилиндра краской, прокатите его один раз по плоскости.
3. Отпечатавшийся прямоугольник будет равен кругу по площади.

Далее можно вычислить площадь прямоугольника, измерив его стороны. Затем построить квадрат, равный по площади полученному прямоугольнику, тем самым решив задачу «квадратуры круга».

Также можно использовать приближение площади круга с помощью прямоугольников.

Впишите квадрат внутрь круга, чтобы его углы касались окружности. Продолжайте добавлять прямоугольники, заполняя оставшуюся часть круга. Чем больше таких прямоугольников, тем ближе сумма их площадей будет к площади круга.

Затем опишите квадрат вокруг круга, чтобы его стороны касались окружности. Добавьте прямоугольники в части квадрата, не занятые кругом, постепенно приближаясь к точному значению площади круга.

Вычтите из площади квадрата площади добавленных прямоугольников.

Площадь круга будет меньше значения S1 < S < S2.

Этот метод демонстрирует, что чем больше фигур используется в расчетах, тем точнее значение площади круга.

Ответы на частые вопросы

Как вычислить площадь круга?

Определите радиус круга. Его можно взять из условия задачи или измерить на рисунке.

Возведите радиус в квадрат (r²).

Умножьте полученное значение на число π, чтобы найти площадь (S).

Чему равна площадь круга 30 см?

Если диаметр окружности равен 30 см, 

S = 1 : 4 * 3,14 * 30².

S = 706,5 см².