Формула тангенса
Что такое тангенс?
Тангенс — это тригонометрическая функция, определяемая как отношение противолежащего катета к прилежащему катету прямоугольного треугольника. Другими словами, тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащей стороны к прилежащей стороне этого угла.
Тангенс является одной из основных тригонометрических функций и широко используется в математике, физике, инженерии и других научных областях для работы с углами и прямоугольными треугольниками.
В геометрии записываются сокращенно на латинском языке как tg
Основные особенности и свойства тангенса:
Определение через синус и косинус. Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу этого угла
Периодичность. Тангенс является периодической функцией с периодом π.
Асимптоты. Тангенс имеет вертикальные асимптоты в точках, где косинус равен нулю.
Область определения. Область определения тангенса — все действительные числа, кроме точек, где косинус равен нулю
Область значений. Область значений тангенса — вся числовая прямая
Симметрия. Тангенс является нечетной функцией
Монтоность. Тангенс является монотонно возрастающей функцией на каждом из интервалов
Преобразование углов. При изменении угла на π\piπ значение тангенса не изменяется, что отражает его периодичность.
График
Функция тангенса обозначается как y = tg (x).
График в общем виде выглядит следующим образом:
Свойства тангенса
| Симметричность | tg (-α) = -tg α |
| Симметричность | tg (90°- α) = ctg α |
| Тригонометрические тождества | tg α = sin α / cos α |
| tg α = 1 / ctg α | |
| Тангенс двойного угла | tg 2α = 2 tg α / (1 - tg2α) |
| Тангенс суммы углов | tg (α+β) = (tg α + tg β) / (1 - tg α tg β) |
| Тангенс разности углов | tg (α-β) = (tg α - tg β) / (1 + tg α tg β) |
| Сумма тангенсов | tg α + tg β = sin (α + β) / cos α cos β |
| Разность тангенсов | tg α - tg β = sin (α - β) / cos α cos β |
| Производная тангенса | tg' x = 1 / cos2 (x) |
| Интеграл тангенса | ∫ tg x dx = -ln |cos x| + C |
| Формула Эйлера | tg x = (eix - e-ix) / i(eix + e-ix) |
Формула расчета
Тангенс угла
Тангенс угла можно вычислить как отношение противолежащего катета к прилежащему катету прямоугольного треугольника при заданном угле.
Тангенс угла 90 градусов не определен, потому что в прямоугольном треугольнике, прямой угол находится между катетом, длина которого равна 0 (прилежащий катет), и гипотенузой, длина которой также равна 0 (противолежащий катет).
Поскольку тангенс угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике. Поэтому в случае угла 90 градусов, когда и прилежащий катет, и противолежащий катет равны 0, отношение этих сторон не определено. Таким образом, тангенс угла 90 градусов является неопределенным значением в тригонометрии.
Тангенс числа
Тангенс числа вычисляется как отношение синуса числа к косинусу числа
Тангенс 0
Тангенс угла 0 равен 0, так как при угле равном 0 гипотенуза тоже равна 0, и тангенс вычисляется как отношение противолежащего (в данном случае - 0) катета к прилежащему (также 0) катету в прямоугольном треугольнике, что даёт результат 0.
Пример задачи
1. Пример 1:
Вычислите тангенс угла, если синус этого угла равен ( frac{3}{5} ) и косинус равен ( frac{4}{5} ).
Решение:
По определению тангенса: ( tan(theta) = frac{sin(theta)}{cos(theta)} ).
Заменяем данные значения: ( tan(theta) = frac{frac{3}{5}}{frac{4}{5}} = frac{3}{4} ).
Ответ: Тангенс этого угла равен ( frac{3}{4} ).
2. Пример 2:
Найдите угол, если его тангенс равен (-frac{1}{3}).
Решение:
Используем определение тангенса: ( tan(theta) = frac{sin(theta)}{cos(theta)} ).
Так как (-frac{1}{3} = frac{-1}{3}), то мы ищем, в каком угле синус равен -1, а косинус равен 3.
Это угол ( theta = -frac{pi}{6} ) (или -30 градусов).
Ответ: Угол, с тангенсом -1/3, равен -30 градусам.
