Тригонометрические формулы

Основные формулы тригонометрии

История тригонометрии начинается более 2000 лет назад. Уже в Древнем Египте, Вавилоне и Китае появились ее первые элементы. В Древней Греции тригонометрию считали частью астрономии. В «Началах» Евклида упоминаются как плоская, так и сферическая тригонометрия.

В развитие науки о соотношениях углов и сторон большой вклад внесли такие ученые, как Николай Коперник, Иоганн Кеплер, Исаак Ньютон, Леонард Эйлер и Николай Лобачевский. Если в прошлом тригонометрия применялась в астрономии, архитектуре и геодезии, то сегодня ее используют практически во всех естественных и технических науках.

Тригонометрические функции, такие как синус, косинус, тангенс и котангенс, помогают представить угол в числовом виде. Эти функции записываются как sin x, cos ⁡x, tg ⁡x, ctg⁡ x, где x — аргумент функции. Вместо xxx можно подставлять любую переменную или числовое значение угла в градусах или радианах.

Формулы тригонометрии описывают связи между тригонометрическими функциями. Их можно разделить на несколько основных групп:

Основное тригонометрическое тождество

sin² x + cos² x = 1

Формулы сложения

• для синуса

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

• для косинуса

cos (a + b) = cos a cos b — sin a sin b

Формулы двойного угла

• для синуса

sin 2x = 2 sin x cos x

• для косинуса

cos 2x = cos² x — sin² x

Формулы понижения степени

sin²x = (1 — cos²x) : 2, cos²x = (1 + cos2x) : 2

Формула двойного угла 

Двойной угол — это ситуация, когда аргумент тригонометрической функции умножается на 2. Например, вместо x в функции подставляется 2x.

Чтобы упростить вычисления, математики вывели специальные формулы для работы с двойным углом. Эти формулы помогают преобразовать функцию от двойного угла в выражение с обычным аргументом.

Ниже основные формулы для двойного угла.

Для синуса:

sin2x = 2 sin x cos x

Для косинуса:

cos 2x = cos² x — sin² x

Это основная формула, но у косинуса есть еще два варианта. Их можно вывести из основного тригонометрического тождества.

Начнем с основного тождества:

sin² x + cos² x = 1

Выразим квадратный sin х через квадратный cos x:

sin² x = 1 — cos²x

Подставим это выражение в формулу для cos⁡ 2x:

cos2x = cos²x — (1 — cos²x) = 2 cos² x — 1

Теперь выразим квадратный cos x через квадратный sin⁡ x:

cos²x = 1 — sin²x

Подставим это в формулу:

cos2x = (1 — sin²x) — sin²x = 1 — 2sin²x

Таким образом, у нас есть три формулы для косинуса двойного угла:

cos 2x = cos²x — sin²x

cos2x = 2cos²x — 1

cos2x = 1 — 2sin²x

Эти формулы работают в обе стороны. Их можно читать как слева направо, так и справа налево. Это полезно для упрощения выражений или решения уравнений.

Используя формулы двойного угла, мы можем легко преобразовать выражения и перейти от более сложного аргумента к простому. 

Найти:

Используем формулу: cos(2α) = 1 — 2sin²(α

Подставляем значение: 24 cos (2α) = 24 ⋅ (1 — 2 sin² (α))

Вычисляем квадрат синуса:

sin²(α) = (-0,2)² = 0,04

Подставляем: 24 cos(2α) = 24 ⋅ (1 — 2 ⋅ 0,04)

Упрощаем: 24 cos(2α) = 24 ⋅ (1 — 0,08) = 24 ⋅ 0,92

Выполняем умножение: 24 cos (2α) = 22,08

Ответ:

24 cos (2α) = 22,08

Формула тройного угла

Для косинуса:

cos(3α) = cos³(α) − 3sin²(α)cos(α)

или

cos(3α)=4cos³(α)−3cos(α)

Для синуса:

sin(3α) = 3sin(α)cos²(α) − sin³(α)

или

sin(3x) = 3sin(x) - 4sin³(x)

Для тангенса:

tg(3α) = (3tg(α) − tg³(α)) / (1 − 3tg²(α))

Для котангенса:

ctg(3α) = (ctg³(α) − 3ctg(α)) / (3ctg²(α) − 1)

Вывод формул

Косинус тройного угла

Используем формулу сложения:

Подставляем формулы двойного угла:

Получаем:

Упрощаем:

Если выразить квадратный sin⁡(α) через квадратный cos(α):

Синус тройного угла

Используем формулу сложения:

Подставляем формулы двойного угла:

Получаем:

Упрощаем: 

Если выразить квадратный cos⁡(α) через квадратный sin⁡(α):

Формула половинного угла

Формулы половинного угла — это обратные формулы к формулам двойного угла. Их можно легко вывести, поэтому учить их необязательно. Главное — понять принцип.

• sin2(α/2)=(1−cos(α)) / 2;
• cos2(α/2)=(1+cos(α)) / 2;
• tg2(α/2)=(1−cos⁡(α)) / (1+cos⁡(α));
• ctg2(α/2)=(1+cos(α)) / (1−cos(α))

Любой угол α можно записать как удвоенный угол α/2​. Это ключевая идея для вывода формул.

Для синуса:

sin(α/2) = ±√((1 − cos(α)) / 2)

Для косинуса:

cos(α/2) = ±√((1 + cos(α)) / 2)

Для тангенса:

tg(α/2) = ±√((1 − cos(α)) / (1 + cos(α)))

Для котангенса:

ctg(α/2) = ±√((1 + cos(α)) / (1 − cos(α)))

Формулы половинного угла

Для синуса удвоенного угла

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Для косинуса удвоенного угла

cos(2x) = cos²(x) − sin²(x)

Формула сложения

Формулы сложения позволяют выразить тригонометрические функции суммы или разности двух углов через функции этих углов. Эти формулы являются основой для вывода множества других тригонометрических формул, включая формулы двойного угла, тройного угла и понижения степени.

Для синуса

Сумма углов:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Разность углов:

sin(a − b) = sin(a)cos(b) − cos(a)sin(b)

Для косинуса

Сумма углов:

cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)

Разность углов:

cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Для тангенса

Сумма углов:

tg(a + b) = (tg(a) + tg(b)) / (1 − tg(a)tg(b))

Разность углов:

tg(a − b) = (tg(a) − tg(b)) / (1 + tg(a)tg(b))

Для котангенса

Сумма углов:

ctg(a + b) = (ctg(a)ctg(b) − 1) / (ctg(a) + ctg(b))

Разность углов:

ctg(a − b) = (ctg(a)ctg(b) + 1) / (ctg(b) − ctg(a))

Формулы сложения применяются в самых разных задачах:

• Для упрощения сложных тригонометрических выражений.
• При решении тригонометрических уравнений.
• Для вывода более сложных формул, таких как формулы двойного угла, тройного угла и понижения степени.

Формула понижения степени

Понижение второй степени

Эти формулы выражают квадраты синуса и косинуса через косинус двойного угла. Они дублируют формулы половинного угла.

Для синуса:

sin²(α) = (1 − cos(2α)) / 2

Для косинуса:

cos²(α) = (1 + cos(2α)) / 2

Понижение третьей степени

Эти формулы выражают третьи степени синуса и косинуса через функции тройного угла.

Для синуса:

sin³(α) = (3sin(α) − sin(3α)) / 4

Для косинуса:

cos³(α) = (3cos(α) + cos(3α)) / 4

Понижение четвертой степени

Эти формулы используют функции двойного и четверного угла.

Для синуса:

sin²(α) = (1 − cos(2α)) / 2

Для косинуса:

cos²(α) = (1 + cos(2α)) / 2

Сумма и разность тригонометрических функций

Синус суммы и разности:

Сумма:

sin(α) + sin(β) = 2sin((α + β) / 2)cos((α − β) / 2)

Разность:

sin(α) − sin(β) = 2cos((α + β) / 2)sin((α − β) / 2)

Косинус суммы и разности:

Сумма:

cos(α) + cos(β) = 2cos((α + β) / 2)cos((α − β) / 2)

Разность:

cos(α) − cos(β) = −2sin((α + β) / 2)sin((α − β) / 2)

Альтернативный вид:

cos(α) − cos(β) = 2sin((α + β) / 2)sin((β − α) / 2)

Тангенс суммы и разности

Сумма:

tg(α) + tg(β) = sin(α + β) / (cos(α)cos(β))

Разность:

tg(α) − tg(β) = sin(α − β) / (cos(α)cos(β))

Котангенс суммы и разности

Сумма:

ctg(α) + ctg(β) = sin(α + β) / (sin(α)sin(β))

Разность:

ctg(α) − ctg(β) = sin(β − α) / (sin(α)sin(β))

Вывод формулы для sin⁡(α)+sin⁡(β)

Представим углы α и β через их среднее и разность:

Распишем сумму синусов:

Используем формулы синуса суммы и разности:

Подставим

Упрощаем:

Произведение тригонометрических функций

Формула для произведения синуса и косинуса:

sin(s) · cos(t) = (sin(s + t) + sin(s − t)) / 2

Формула для произведения косинусов:

cos(s) · cos(t) = (cos(s + t) + cos(s − t)) / 2

Формула для произведения синусов:

sin(s) · sin(t) = (cos(s − t) − cos(s + t)) / 2

Эти формулы позволяют преобразовать произведение тригонометрических функций в их сумму или разность. Они полезны при упрощении сложных выражений и решении уравнений.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка — выражение основных тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента (t = tg⁡(x/2)).

Формулы:

Синус:sin(x) = (2tg(x/2)) / (1 + tg²(x/2)), x ≠ π + 2πn, n ∈ ℤ

Косинус: cos(x) = (1 − tg²(x/2)) / (1 + tg²(x/2)), x ≠ π + 2πn, n ∈ ℤ

Тангенс: tg(x) = (2tg(x/2)) / (1 − tg²(x/2)), x ≠ π + 2πn, x ≠ π/2 + πn, n ∈ ℤ

Котангенс: ctg(x) = (1 − tg²(x/2)) / (2tg(x/2)), x ≠ πn, x ≠ π + 2πn, n ∈ ℤ