Формула Герона

Теорема Герона — формула

Формула Герона позволяет находить площадь треугольника, зная только длины его сторон. Это особенно полезно, когда высоту определить сложно или она не дана.

Формула Герона выглядит так:

S = √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c)),

где:

• S — площадь треугольника;
• a, b, c — длины сторон треугольника;
• p — полупериметр.

Полупериметр рассчитывается как:

p = (a + b + c) / 2.

Эта формула работает для любых треугольников: остроугольных, тупоугольных и прямоугольных.

Например, нужно найти площадь треугольника со сторонами 6 см, 8 см и 10 см.

Решение:

1. Вычислим полупериметр:

p = (6 + 8 + 10) / 2 = 24 / 2 = 12 см

1. Применим формулу Герона:

S = √(12 × (12 - 6) × (12 - 8) × (12 - 10))

S = √(12 × 6 × 4 × 2)

S = √(576) = 24 см²

Ответ: Площадь треугольника 24 см².

Как работает формула Герона

Формула Герона позволяет найти площадь любого треугольника, независимо от его типа:

• остроугольного (все углы меньше 90°);
• прямоугольного (один угол 90°);
• тупоугольного (один угол больше 90°).

Доказательство формулы Герона

Рассмотрим произвольный треугольник со сторонами a, b, c. Известно, что его площадь можно вычислить как:

S = (1/2) × основание × высоту

Наша цель — выразить высоту через известные стороны.

1. Выражение высоты через стороны треугольника

Обозначим полупериметр треугольника:

p = (a + b + c) / 2

Пусть BC = a — основание треугольника, а h — высота, проведенная к этой стороне.

Разделим треугольник на два прямоугольных треугольника. Используем теорему Пифагора для нахождения высоты h через стороны a, b, c. После преобразований получаем:

h² = (p - a)(p - b)(p - c) / p

Извлекая корень, получаем:

h = √((p - a)(p - b)(p - c) / p)

2. Вывод окончательной формулы

Подставим найденное значение h в формулу площади:

S = (1/2) × a × h

После преобразований получаем окончательный вид:

S = √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c))

Формула Герона доказана.

Пример решения задач на теорему Герона

Задача:

Найдите площадь треугольника со сторонами 9 см, 10 см и 17 см.

Решение:

1. Вычислим полупериметр:

p = (9 + 10 + 17) / 2 = 36 / 2 = 18 см

2. Применим формулу Герона:

S = √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c))

Подставляем значения:

S = √(18 × (18 - 9) × (18 - 10) × (18 - 17))

S = √(18 × 9 × 8 × 1)

S = √1296

S = 36 см²

Ответ: площадь треугольника 36 см².