Формулы приведения — это выражения, которые позволяют упростить тригонометрические функции углов вида πn/2 + α, где n — целое число от 1 до 4, а α — угол в пределах от 0 до π/2. Они помогают преобразовать функцию так, чтобы аргумент стал удобным для вычислений.
Чтобы привести тригонометрическую функцию к более удобному виду, нужно определить знак и проверить, меняется ли название функции.
Сначала определяется знак: он остается таким же, как у исходного выражения, если считать, что угол α находится в первой четверти.
Далее проверяется, меняется ли название функции. Это зависит от того, от какой оси откладывается угол:
Формулы приведения помогают упростить тригонометрические функции, если их аргумент выходит за пределы от 0° до 90° (или от 0 до π/2 в радианах). Они позволяют заменить функции с «большими» углами на эквивалентные выражения с меньшими аргументами.
Но как это работает? Давайте разберемся.
Чтобы понять, как работают формулы приведения, представьте тригонометрическую окружность. Любой угол можно отложить на ней, но его положение будет зависеть от того, в каком квадранте он находится.
Например, угол 150° (или 5π/6 в радианах) расположен во втором квадранте, а 270° (3π/2) — на границе между третьим и четвертым. Вместо того чтобы запоминать значения тригонометрических функций для всех возможных углов, можно воспользоваться опорными точками — особыми углами, от которых удобно отсчитывать любые другие.
Опорная точка — это угол вида πn/2, где n — целое число. Эти точки определяют, как изменится тригонометрическая функция при переходе в другой квадрант.
Используя их, можно заменить синус на косинус, тангенс на котангенс, а также определить знак функции в данном квадранте.
Формулы различаются в зависимости от опорной точки:
Формулы приведения можно доказать с помощью стандартных тригонометрических тождеств. Например, чтобы доказать формулу sin(π/2 + α) = cos α,
используем формулу суммы синуса:
sin(α + β) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β.
Подставляем α = π/2:
sin(π/2 + α) = sin(π/2) ⋅ cos α + cos(π/2) ⋅ sin α
Так как sin(π/2) = 1, а cos(π/2) = 0, получаем:
sin(π/2 + α) = 1 ⋅ cos α + 0 ⋅ sin α = cos α.
Доказательство формулы cos(π + α) = −cos α.
Используем формулу суммы косинуса:
cos(α + β) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β.
Подставляем α = π:
cos(π + α) = cos π ⋅ cos α − sin π ⋅ sin α.
Значения cos π = −1 и sin π = 0:
cos(π + α) = (−1) ⋅ cos α − 0 ⋅ sin α = −cos α.
Такими же методами можно доказать и другие формулы.
Формулы приведения помогают упростить вычисления тригонометрических функций, приводя аргумент к диапазону от 0 до 90 градусов. Они основаны на свойствах тригонометрических функций и их значениях в опорных точках.
Теперь вы можете легко работать с тригонометрией даже при сложных углах.
Ниже таблица формул приведения, которая поможет легко находить эквивалентные выражения для тригонометрических функций.
Как пользоваться таблицей:
Допустим, нужно упростить cos(π + α).
Значит, cos(π + α) = −cos α.
Функция | π/2 − α | π/2 + α | π − α | π + α | 3π/2 − α | 3π/2 + α | 2π − α | 2π + α |
sin | cos α | cos α | sin α | −sin α | −cos α | −cos α | −sin α | sin α |
cos | sin α | −sin α | −cos α | −cos α | −sin α | sin α | cos α | cos α |
tg | ctg α | −ctg α | −tg α | tg α | ctg α | −ctg α | −tg α | tg α |
ctg | tg α | −tg α | −ctg α | ctg α | tg α | −tg α | −ctg α | ctg α |
Учить все формулы приведения наизусть не обязательно. Можно воспользоваться логикой и запомнить мнемонический алгоритм, который поможет быстро находить нужное выражение.
Алгоритм запоминания:
Используйте «правило лошади»:
Формулы приведения можно записать в общем виде:
f(πn/2 ± α) =
Где cof(α) — это «противоположная» функция (sin ↔ cos, tg ↔ ctg).
Этот алгоритм поможет быстро находить нужное выражение и решать задачи без запоминания всех 32 формул.
Найдите значение выражения:
2 cos(2π - α) + sin(π/2 + α) - tg(3π/2 - α).
Шаг 1. Применяем формулы приведения.
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.
cos(2π - α).
Косинус в четвертой четверти положительный, поэтому:
cos(2π - α) = cos α.
sin(π/2 + α).
Вторая четверть: синус положительный, поэтому:
sin(π/2 + α) = cos α.
tg(3π/2 - α).
Третья четверть: тангенс положительный, поэтому:
tg(3π/2 - α) = ctg α.
Шаг 2. Подставляем преобразованные выражения
2 cos(2π - α) + sin(π/2 + α) - tg(3π/2 - α) = 2 cos α + cos α - ctg α = 3 cos α - ctg α.
Ответ: 3 cos α - ctg α.