Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения по алгебре

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) помогают упростить вычисления при возведении в степень и умножении выражений. Они позволяют сократить громоздкие выражения и быстрее выполнять расчеты. Они помогают:

• разлагать многочлены на множители – это важно при решении уравнений и преобразовании выражений;
• упрощать выражения – заменять длинные вычисления удобными тождествами;
• быстро возводить в степень – легко вычислять квадраты и кубы сумм или разностей;
• приводить многочлены к стандартному виду – это облегчает работу с алгебраическими выражениями.

Эти формулы широко применяются в математике, физике, экономике и программировании. Их знание позволяет быстрее решать задачи и лучше понимать структуру алгебраических выражений.

В этой статье мы рассмотрим основные формулы сокращенного умножения, приведем их в таблице и разберем, как их применять.

Основные формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения изучают в 7 классе по алгебре. Они часто используются в решении уравнений и преобразовании выражений. Вот семь основных формул:

Эти формулы используются для быстрого преобразования выражений. Например, они помогают разложить многочлен на множители или упростить вычисления.

Как применять формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения полезны в алгебре, поскольку они позволяют:

• сокращать громоздкие выражения;
• быстрее возводить числа в степень;
• разлагать многочлены на множители.

Например, вместо того чтобы вычислять (5 + 3)² по действиям, можно сразу использовать формулу квадрата суммы:

(5 + 3)² = 5² + 2 × 5 × 3 + 3² = 25 + 30 + 9 = 64.

Также можно использовать обратные формулы, когда требуется разложить выражение на множители, например:

x² - 9 = (x - 3)(x + 3).

Формулы сокращенного умножения нужно выучить наизусть. Особенно важно знать первые три формулы — без них не удастся освоить более сложные темы.

Чтобы легче запомнить ФСУ, можно использовать метод аналогии. Обратите внимание на закономерности:

• Квадрат суммы и квадрат разности отличаются только знаком:
  
  (a + b)² = a² + 2ab + b²
  
  (a - b)² = a² - 2ab + b²
• Куб суммы и куб разности также похожи друг на друга:
  
  (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  
  (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
• Сумма кубов и разность кубов напоминают квадратные формулы, но с дополнительными множителями:
  
  a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
  
  a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Как правильно проговаривать формулы

Чтобы лучше запомнить, попробуйте произносить формулы вслух. Важно не допускать распространенную ошибку: нет такой формулы, как "сумма квадратов". Запомните:

• существует разность квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b);
• но формулы суммы квадратов нет.

Доказательство формул сокращенного умножения

Каждую из формул можно доказать, раскрыв скобки и упростив выражение.

Квадрат суммы

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Раскрываем скобки:

(a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Квадрат разности

(a - b)² = a² - 2ab + b².

Аналогично:

(a - b)(a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².

Куб суммы

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Раскрываем скобки поэтапно:

(a + b)(a + b)(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b).

Умножаем:

a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Куб разности

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

По аналогии:

(a - b)(a - b)(a - b) = (a² - 2ab + b²)(a - b).

Умножаем:

a³ - a²b - 2a²b + 2ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Разность квадратов

a² - b² = (a - b)(a + b).

Умножаем:

(a - b)(a + b) = a² + ab - ab - b² = a² - b².

Сумма кубов

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).

Умножаем:

(a + b)(a² - ab + b²) = a³ - a²b + a²b - ab² + ab² + b³ = a³ + b³.

Разность кубов

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

Умножаем:

(a - b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b - a²b - ab² + ab² - b³ = a³ - b³.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться только формулами из курса 7 класса. В алгебре есть и другие важные тождества, которые пригодятся для упрощения выражений и решения уравнений.

Формула бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона позволяет разложить сумму двух переменных в любую целую неотрицательную степень:

(a + b)ⁿ = C₀ⁿ * aⁿ + C₁ⁿ * aⁿ⁻¹ * b + C₂ⁿ * aⁿ⁻² * b² + … + Cₙ⁻₁ⁿ * a * bⁿ⁻¹ + Cₙⁿ * bⁿ.

Где Cₖⁿ – биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля.

Они вычисляются по формуле:

Cₖⁿ = n! / (k! * (n-k)!) = n(n-1)(n-2) … (n-(k-1)) / k!

Другими словами, формулы квадрата и куба суммы и разности – это частные случаи бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Квадрат суммы нескольких слагаемых

Что делать, если в выражении больше двух слагаемых? В этом случае полезна формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых:

(a₁ + a₂ + … + aₙ)² = a₁² + a₂² + … + aₙ² + 2 * a₁ * a₂ + 2 * a₁ * a₃ + … + 2 * a₁ * aₙ + 2 * a₂ * a₃ + 2 * a₂ * a₄ + … + 2 * a₂ * aₙ + … + 2 * aₙ₋₁ * aₙ.

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар слагаемых.

Пример для трех слагаемых:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 * a * b + 2 * a * c + 2 * b * c.

Разность степеней двух чисел

Формула разности степеней позволяет разложить выражение aⁿ - bⁿ на множители:

aⁿ - bⁿ = (a - b) * (aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻² * b + aⁿ⁻³ * b² + … + a² * bⁿ⁻³ + a * bⁿ⁻² + bⁿ⁻¹).

Для четных показателей (n = 2m):

a²m - b²m = (a² - b²) * (a²m⁻² + a²m⁻⁴ * b² + a²m⁻⁶ * b⁴ + … + b²m⁻²).

Для нечетных показателей (n = 2m + 1):

a²m+1 - b²m+1 = (a - b) * (a²m + a²m⁻¹ * b + a²m⁻² * b² + … + b²m).

Формулы разности квадратов и разности кубов являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3.

Для разности кубов можно заменить b на -b, что приведет к формуле суммы кубов:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).

Примеры решения задач на ФСУ

Пример 1. Упрощение выражения

Упростим выражение:

16x² - (4x - 1)².

Используем формулу квадрата разности:

(4x - 1)² = 16x² - 8x + 1.

Подставляем:

16x² - (16x² - 8x + 1) = 16x² - 16x² + 8x - 1 = 8x - 1.

Ответ: 8x - 1.

Пример 2. Сокращение дроби

Сократим дробь:

27a³ - 8b³ / 9a² - 6ab + 4b².

Замечаем, что в числителе стоит разность кубов, а в знаменателе – квадрат разности.

Используем формулы: 

• разность кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²);
• квадрат разности: (3a - 2b)² = 9a² - 6ab + 4b².

Применяем их:

(3a - 2b)(9a² + 6ab + 4b²) / (3a - 2b)(3a - 2b).

Сокращаем (3a - 2b).

Ответ: (9a² + 6ab + 4b²) / (3a - 2b).

Пример 3. Быстрое вычисление квадрата числа

Вычислим 92² без калькулятора:

Запишем число в удобной форме: 92 = 100 - 8.

Используем формулу квадрата разности:

(100 - 8)² = 100² - 2 * 100 * 8 + 8² = 10000 - 1600 + 64 = 8464.

Ответ: 92² = 8464.

Пример 4. Выделение полного квадрата

Преобразуем выражение:

x² + 6x + 8.

Выделим полный квадрат:

x² + 6x + 9 - 9 + 8 = (x + 3)² - 1.

Такое преобразование полезно при решении уравнений и интегрировании.

Ответ: (x + 3)² - 1.