Объем пирамиды

Объем пирамиды — это

Разберемся, что такое объем пирамиды, как его вычислить и где это может пригодиться.

Пирамида — это геометрическая фигура, у которой:

• основание — многоугольник;
• боковые грани — треугольники, сходящиеся в одной вершине.

Объем пирамиды показывает, какое пространство занимает эта фигура в трехмерном пространстве.

Полезное об объеме пирамиды

У всех пирамид есть основные элементы: основание, вершина, боковые грани, ребра и высота. 

При вычислении объема важно учитывать, какая фигура лежит в основании. Основание может быть треугольником, квадратом, прямоугольником или другим многоугольником, и от этого зависит способ расчета.

Важно не путать высоту боковой грани и высоту самой пирамиды. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный от вершины к основанию, и именно ее используют для вычисления объема.

Высота боковой грани — это высота треугольника, образующего боковую поверхность, и для расчета объема она не подходит.

Какова формула объема пирамиды?

V = (1/3) × S × h,

где

• V — объем пирамиды;
• S — площадь основания;
• h — высота пирамиды (перпендикуляр от вершины к основанию).

Доказательство формулы объема пирамиды

Докажем, что объем пирамиды равен 1/3 от произведения площади ее основания на высоту. Для этого рассмотрим частный случай — треугольную пирамиду, а затем обобщим результат для пирамид с любым многоугольным основанием.

Шаг 1: дополним пирамиду до призмы

Дана треугольная пирамида с вершиной S и основанием ABC. Дополним ее до призмы, у которой основание ABC, а высота совпадает с высотой пирамиды.

Призма состоит из трех пирамид:

• Исходной пирамиды SABC.
• Пирамиды SABD, полученной с помощью диагонали в основании.
• Пирамиды SBDC, также выделенной диагональю.

Шаг 2: доказательство равенства объемов

Рассмотрим пирамиды SABC и SABD. Их основания ABC и ABD имеют одинаковую площадь, так как диагональ AC делит параллелограмм основания на два равных треугольника. Кроме того, у обеих пирамид одинаковая высота SH, так как вершина S одинакова для обеих.

Так как у пирамид SABC и SABD совпадают высоты и площади оснований, их объемы равны. Аналогичное рассуждение справедливо для пирамид SABD и SBDC.

Шаг 3: вывод формулы объема пирамиды

Мы получили, что три пирамиды, из которых состоит призма, имеют равные объемы. Так как объем призмы равен произведению площади основания на высоту, то каждая из пирамид составляет 1/3 от объема призмы:

V = (1/3) × Sосн × h

Теорема доказана.

Объем пирамиды через площадь основания и высоту

Основная формула для вычисления объема пирамиды: 

V = (1/3) × S × h,

где

• V — объем пирамиды;
• S — площадь основания;
• h — высота пирамиды (перпендикуляр от вершины к основанию).

Эту формулу используют в большинстве задач по геометрии, она позволяет легко находить объем, если известны площадь основания и высота.

Формула объема правильной треугольной пирамиды 

Если основание пирамиды — правильный треугольник, то ее объем можно найти, используя длину стороны основания a и высоту h:

V = (h × a²) / 4√3,

где

• V — объем пирамиды;
• h — высота пирамиды (перпендикуляр от вершины к основанию);
• a — длина стороны правильного треугольника в основании.

Эта формула удобна, когда в задаче дана только длина стороны основания, без отдельного указания площади.

Как найти объем правильной четырехугольной пирамиды

Если основание пирамиды — квадрат со стороной a, то ее объем можно вычислить по формуле:

V = (1/3) × h × a².

Эту формулу используют, когда известны только длина стороны основания и высота пирамиды.

Объем правильной шестиугольной пирамиды

Если основание пирамиды — правильный шестиугольник со стороной a, то его объем можно вычислить по формуле:

V = (√3 / 2) × h × a²,

где

• V — объем пирамиды;
• h — высота пирамиды (перпендикуляр от вершины к основанию);
• a — длина стороны правильного шестиугольника в основании.

Эта формула удобна, когда известны только сторона основания и высота, без отдельного указания площади шестиугольника.

Формула объема тетраэдра через ребро

Тетраэдр — это пирамида с четырьмя треугольными гранями, в том числе одним треугольником в основании. Если все его грани равносторонние, тетраэдр называется правильным.

Объем правильного тетраэдра можно вычислить через длину его ребра a по формуле:

V = a³ × (√2 / 12),

где

• V — объем тетраэдра;
• a — длина ребра.

Эта формула позволяет находить объем правильного тетраэдра, если известна только длина его ребра.

Примеры задач по нахождению объема пирамиды

Задача 1

Вычислите объем пирамиды, если ее основание представляет собой правильный треугольник со стороной 8 см, а высота пирамиды 12 см.

Решение

Площадь правильного треугольника рассчитывается по формуле:

S = (a² × √3) / 4

Подставляем значения:

S = (8² × √3) / 4 = (64 × √3) / 4 = 16√3 см²

Теперь найдем объем пирамиды:

V = (1/3) × S × h

V = (1/3) × 16√3 × 12

V = (192√3) / 3 = 64√3 см³

Ответ: 64√364√364√3 см³.

Задача 2

Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, если сторона основания равна 6 см, а высота пирамиды 10 см.

Решение

Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле:

S = (3√3 / 2) × a²

Подставляем значения:

S = (3√3 / 2) × 6²

S = (3√3 / 2) × 36 = 54√3 см²

Теперь найдем объем пирамиды:

V = (1/3) × S × h

V = (1/3) × 54√3 × 10

V = (540√3) / 3 = 180√3 см³.

Ответ: 180√3180√3180√3 см³.

Задача 3

Вычислите объем правильного тетраэдра с ребром 9 см.

Решение

Используем формулу объема правильного тетраэдра:

V = (a³ × √2) / 12

Подставляем значение:

V = (9³ × √2) / 12

V = (729 × √2) / 12

V = 60,75√2 см³

Приближенное значение:

V ≈ 85,94 см³

Ответ: 60,75√2 см³ или приближенно 85,94 см³.