Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — формула

Теорема Пифагора — одно из фундаментальных утверждений геометрии, описывающее соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Теорема звучит так: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Если обозначить катеты как a и b, а гипотенузу как c, то формула записывается следующим образом:

c² = a² + b²

Доказательства теоремы Пифагора

Существует множество способов доказательства теоремы Пифагора. Рассмотрим некоторые из них.

Доказательство с использованием площади

Рассмотрим квадрат со стороной (a + b), внутри которого расположены четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b и гипотенузой c.

Площадь большого квадрата равна (a + b)². С другой стороны, эта площадь состоит из площади четырех треугольников и внутреннего квадрата со стороной c.

Запишем это равенство:

(a + b)² = 4 × (1/2 × a × b) + c²

Упростив, получаем:

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

Сокращая одинаковые слагаемые, имеем:

a² + b² = c²

Доказательство с использованием подобия треугольников

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом ∠C. Проведем высоту CD из вершины C на гипотенузу AB. Треугольники ACD и BCD будут подобны треугольнику ABC.

Из подобия треугольников следует:

AC/AB = CD/AC и BC/AB = CD/BC

Умножив эти уравнения, получаем:

AC² + BC² = AB²

Обратная теорема Пифагора

Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным.

Применение теоремы Пифагора в обычной жизни

Теорема Пифагора широко используется в различных сферах жизни:

• Строительство и архитектура: для расчета диагоналей и проверки прямых углов.
• Навигация и геодезия: для определения кратчайших расстояний.
• Физика и инженерия: при анализе сил и движений в прямоугольных системах.

Примеры решения задач с теоремой Пифагора

Задача 1 (обычная теорема Пифагора)

К стене приставлена лестница, ее нижний конец находится на расстоянии 6 м от стены. Высота, на которую опирается лестница, составляет 8 м. Найдите длину лестницы.

Решение:

Так как стена, пол и лестница образуют прямоугольный треугольник, применяем теорему Пифагора:

c² = a² + b²

Подставляем значения:

c² = 6² + 8²

c² = 36 + 64

c² = 100

c = √100 = 10 м

Ответ: 10 м

Задача 2 (обычная теорема Пифагора)

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину гипотенузы.

Решение:

Применим теорему Пифагора:

c² = 6² + 8²

c² = 36 + 64

c² = 100

c = √100

c = 10 см

Ответ: 10 см

Задача 3 (обратная теорема Пифагора): Определите тип треугольника

Дан треугольник с длинами сторон 9 см, 12 см и 15 см. Является ли он прямоугольным?

Решение:

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

c² = a² + b²,

где c = 15 см (наибольшая сторона), а a = 9 см, b = 12 см.

15² = 9² + 12²

225 = 81 + 144

225 = 225

Равенство верно, значит, данный треугольник прямоугольный.

Ответ: треугольник является прямоугольным.

Задача 4 (обратная теорема Пифагора)

В треугольнике одна из сторон равна 10 см, а две другие — 6 см и 8 см. Определите, является ли этот треугольник прямоугольным.

Решение:

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

10² = 6² + 8²

100 = 36 + 64

100 = 100

Равенство верно, значит, треугольник прямоугольный.

Ответ: треугольник является прямоугольным.