Квадрат разности

Формула квадрата разности 

Возвести выражение во вторую степень — значит умножить его само на себя. Разберемся, как работает эта операция для разности двух чисел.

Формула квадрата разности

Если взять два числа a и b и возвести их разность в квадрат, получится:

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Формула говорит, что квадрат разности двух чисел равен:

1. квадрату первого числа;
2. минус удвоенное произведение первого и второго числа;
3. плюс квадрат второго числа.

Эта формула помогает упрощать выражения и быстрее выполнять вычисления.

Например, посчитаем 98². Можно представить 98 как 100 − 2 и использовать формулу:

(100 − 2)² = 100² − 2 × 100 × 2 + 2²

= 10000 − 400 + 4

= 9604

Такое разложение позволяет легко возводить в квадрат сложные числа в уме.

Преобразование выражений

Используем формулу для упрощения выражений. Например, разложим (x − 5)²:

(x − 5)² = x² − 2 × x × 5 + 5²

= x² − 10x + 25

Если нужно представить многочлен в стандартном виде, сначала раскрываем квадрат разности, затем приводим подобные слагаемые.

Геометрическое объяснение

Представьте квадрат со стороной a. В одном из его углов выделим меньший квадрат со стороной b. Тогда площадь всего квадрата:

a²

Если убрать площадь меньшего квадрата и учесть оставшиеся прямоугольники, получится выражение:

a² − 2ab + b²

Это подтверждает, что формула квадрата разности работает и с точки зрения геометрии.

Чтобы доказать формулу квадрата разности, достаточно раскрыть скобки и перемножить выражения:

(a − b)² = (a − b) × (a − b)

Раскроем скобки:

= a² − ab − ba + b²

Приведем подобные слагаемые (−ab − ba = −2ab):

= a² − 2ab + b²

Так получили формулу:

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Применение формулы квадрата разности

Эта формула удобна для:

1. Раскрытия скобок – позволяет быстро разложить квадрат разности на три слагаемых.
2. Упрощения выражений – помогает сокращать громоздкие выражения и вычислять быстрее.
3. Вычисления квадратов больших чисел без калькулятора – особенно полезно при устных вычислениях.

Пример быстрого вычисления:

Посчитаем квадрат числа 49, представив его как (50 − 1):

49² = (50 − 1)² = 50² − 2 × 50 × 1 + 1²

= 2500 − 100 + 1 = 2401

Получили ответ без сложных расчетов.

Примеры задач на нахождение квадрата разности

Задача 1

Упростите выражение, используя формулу квадрата разности:

(x−7)²

Для решения применяем формулу:

(x - 7)² = x² - 2 × x × 7 + 7²

= x² - 14x + 49.

Ответ: x² - 14x + 49.

Задача 2

Вычислите 98², используя формулу квадрата разности.

Для решения представим 98 как 100 - 2 и применим формулу:

(100 - 2)² = 100² - 2 × 100 × 2 + 2²

= 10000 - 400 + 4 = 9604

Ответ: 9604.

Задача 3

Найдите значение выражения, используя формулу квадрата разности:

(3a - 5b)²

Для решения применяем формулу:

(3a - 5b)² = (3a)² - 2 × 3a × 5b + (5b)²

= 9a² - 30ab + 25b²

Ответ: 9a² - 30ab + 25b².